Правило вычислений производных

Правила вычисления производных. 985

Таблица производных основных элементарных функций :

17.Производная сложной функции (без док).

Правило дифференцирования сложной функции:

Пусть имеется функция сложная, присутствует функция от функции

Введем внутреннюю функцию промежуточный аргумент

Тогда теорема состоит в следующем —

Доказательство для монотонной функции.

18.Производные высших порядков.

Предел отношения приращения новой функции вызвавшему его приращение аргумента при стремлении последнего к нулю. Если этот предел существует, то его обозначают через .

По отношению к исходной функции имеет смысл производной от первой производной. Это производная второго порядка исходной функции. Тем самым дано определение производной второго порядка от функции .

Правило вычисления производных второго порядка обычно совпадает с правилами вычисления первого порядка. Только функцию заменяют на функцию .

Вычислять производную второго порядка можно только когда известна производная первого порядка.

Правило вычисления производной второго порядка —

Из формулы вытекает, что вторую производную можно представить как отношение дифференциала к квадрату дифференциалу независимого аргумента.

Аналогично может быть определены производные третьего порядка исходной функции.

19.Классификация бесконечно малых функций.

Предположим, что в каком-либо исследовании одновременно рассматривается ряд бесконечно малых величин a, b, g…, которые, вообще говоря, могут быть функциями от одной и той же переменной, стремящейся к конечному или бесконечному пределу.

Во многих случаях представляет интерес сравнение бесконечно малых между собой по характеру их приближения к нулю. В основу этого сравнения кладется поведение их отношения.

Определение 1. Если отношение b /a (a /b ) имеет конечный и отличный от нуля предел, то бесконечно малые a и b считаются (называются) величинами одного порядка малости.

Определение 2. Если отношение b /a само оказывается бесконечно малым (а обратное a /b — бесконечно большим), то бесконечно малая b считается величиной высшего порядка малости, чем бесконечно малая a , и одновременно бесконечно малая a будет величиной низшего порядка, чем бесконечно малая b .

20.Дифференциал функции, его геометрический смысл. Использование дифференциала при приближенных вычислениях.

Дифференциал независимого аргумента функции равен приращению этого аргумента.

Справедливо равенство . Поэтому определение дифференциала моно записать так – , отсюда .

Кроме производной в матане важное значение играет понятие дифференциала функции.

По основному свойству предела если функция имеет предел, то отличие функции от предела бесконечно мало.

это основное; главная линейная часть приращения функции.

Определение 1. Главная линейная часть приращения функции равная произведению называется дифференциалом функции и обозначается через dy. По определению – dy=

Отметим, что дифференциал функции отличается от её приращения на слагаемое .

Геометрический смысл дифференциала функции.

Придадим приращение , тогда при таком приращение аргумента функция получит приращение f( ). Дифференциал – приращение, которая получает касательная при приращении аргумента.

dy – приращение касательной.

Дифференциал – KM. (KM=dy)

Это приращение не самой функции, а приращение касательной к графику этой функции, проведенной в точке, в которой вычисляется этот дифференциал (при ).

Так как приращение отличается от дифференциала на ( ), то на практике используется такое

21.Дифференцируемость функции в точке. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции в точке.

Функция y=f(x) называется дифференцируемойв точке x0, если ее приращение Δy в точке x0 может быть представлено в виде: Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx, где A — некоторое число, независящее от Δx, а α(Δx)— бесконечно малая функция от переменной Δx, т.е.

Теорема
Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируемав точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную.
Доказательство
Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке x0, т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx. Разделив обе части данного равенства на Δx, получим: ΔxΔy=A+α(Δx).
Из определения производной функции в точке:

Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке x0 и y`(x0)=A.
Достаточность. Пусть существует конечная производная y`(x0)∈R . Покажем дифференцируемость функции.

Если функция f(x) имеет конечный предел b при Δx→0 , то ее можно представить: f(x)=b+α(x) (α(x)→0) . Исходя из этого: =y`(x0)+α(Δx), где

, Δy=y`(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y`(x0) . Теорема доказана.
Определение. Дифференциалом функции y=f(x) в точке x0 называется главная линейная относительно Δx часть приращения функции Δy в данной точке.

24.Теорема Лагранжа. Следствие – признак постоянства функции.

Если на некотором промежутке производная тождественно равна нулю, то функция на этом промежутке постоянна.

Доказательство. Будем понимать заданную функцию у = f(x) как закон движения материальной точки Р по оси у. Если производная обратилась в нуль, то точка Р остановилась. Если производная все время равна нулю, то точка Р все время стоит на месте, а тогда функция у является постоянной, что и требовалось доказать.
Заметим, что верна и обратная теорема: если функция постоянна, то ее производная равна нулю. Производную постоянной функции мы вычислили ранее. Таким образом, f = const

25.Правила Лопиталя (без док).

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность
типа или .

Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

· Если и , то

· Если и , то аналогично

26.Монотонность функции. Необходимое и достаточное условия монотонности. Достаточное условие строгой монотонности.

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 f (x2).

Достаточный признак монотонности.

f`(x) x1, функция не убывает.
Теорема доказана.

27.Экстремум функции. Необходимое условие экстремума функции. Достаточное условие строгого экстремума функции (первое – перемена знака производной при переходе через исследуемую точку, второе – при помощи второй производной).

. Говорят, что функция при имеет минимум, если найдется такая дельта окрестность этой точки, что для всех x принадлежащих этой дельта окрестности будет выполняться условие . ( )

Общим названием для максимума и минимума служит термин – экстремум. При функция имеет экстремум, если в этой точке она имеет или максимум, или минимум.

Через производную формулируются необходимые и достаточные условия для того, чтобы функция в точке имела экстремум.

Необходимое условие экстремума — Если функция имеет при некотором экстремум и если она дифференцируема в этой точке, то необходимо в этой точке будет выполняться соотношение .

Достаточные условия строго экстремума:

28.Определение выпуклости функции. Признак выпуклости функции (без док). Точки перегиба.

Говорят, что график функции f(x) на данном промежутке обращен выпуклостью вверх (вниз) если любая точка графика функции лежит ниже (выше) соответствующей точки любой касательной, проведенной к графику функции на этом промежутке (кроме точки касания).

Признаки —Если в каждой точке промежутка , тогда график функции на этом промежутке будет обращен выпуклостью вверх. Критерий вогнутости функции на промежутке . Если в каждой точке промежутка выполняется соотношение , то в этом случае функция будет вогнута на данном промежутке, график будет обращен выпуклостью вниз.

Точка граничная, отделяющая промежуток выпуклости от промежутка её вогнутости, называется точкой перегиба графика функции в том случае, если сама функция определена в этой точке

В этой точке касательная пересекает график функции в точке и с одной стороны касательная находится ниже точек графика, а с другой – ниже точек графика.

В точке перегиба производная может не существовать. Границей, отделяющей промежуток выпуклости от промежутка вогнутости, может быть вертикальная асимптота графика.

Граничная точка, Отделяющая промежуток выпуклости от промежутка вогнутости – обязательно будет точкой перегиба.

Вторая производная не только существует, но и является непрерывной для икса.

Функция f(x) при будет иметь точку перегиба, если в этой точке вторая производная обращается в ноль (при ), и при переходе через эту точку вторая производная меняет свой знак.

29.Асимптоты графика функции.

Асимптотой графика функции называется прямая линия, которая обладает следующим свойством: при удалении точки графика от начала координат расстояние этой точки до указанной прямой, являющейся асимптотой, неуклонно непрерывно уменьшается. При неограниченном удалении точки графика от начала координат эта точка неограниченно приближается к асимптоте. Не у всякой функции график имеет асимптоты, поэтому приходится проводить исследования на наличие графика асимптот. При этом различают вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.

Определение 2. Вертикальная прямая с уравнением называется вертикальной асимптотой графика функции, если для этой функции в этой точке выполняется одно из следующих соотношений

Если прямая является вертикальной асимптотой функции, то точка с абциссой является точкой разрыва второго рода данной функции.

Определение3. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции, если выполняется следующее соотношение.

Теорема1. Для того, чтобы прямая была наклонной асимптотой графика функции необходимо и достаточно чтобы одновременно выполнялись оба соотношения 1

Пусть 6 выполнено, тогда прямая y=kx+b будет асимптота (достаточный критерий).

Необходимость. Если прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции, то есть выполняется соотношение , то тогда необходимо будут выполняться оба из соотношений 1.

Горизонтальная асимптота. В частном случае когда k равно 0, уравнение асимптоты будет иметь вид y=b то есть будет представлять из себя горизонтальную прямую и тогда предыдущая теорема упрощается.

Теорема2,как частный случай первой. Для того чтобы горизонтальная прямая y=b была горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x) необходимо и достаточно чтобы выполнялось соотношение

32.Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функций нескольких переменных.

. Переменная величина z называется функцией двух других переменных величин x и y, если каждой упорядоченной паре чисел x,y из некоторой области D соответствует по некоторому правилу или закону одно вполне определенное значение переменой z. Если z является функцией переменных x и y пишут – .

x,y – независимые аргументы функции, переменная z обозначает саму функцию, а буквой f называется закон соответствия.

Число b называется пределом функции при , , если для любого как угодно малого числа ξ найдется такое число , большее нуля, что как только расстояние между точками ,так сразу же

Предел суммы равен сумме пределов, предел произведения равен произведению пределов, предел частного равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля.

Функция называется непрерывной в точке , если в этой точке для этой функции выполняются 2 условия:

1.

2. В этой точке существует всесторонний предел и равен значению функции в точке .

Отметим, что теорема о непрерывных функции аналогична теореме о непрерывности в одномерном случае.

Теорема о непрерывности элементарной функции.

Элементарная функция непрерывна во всех тех точках, где она определена. Если функция определена в некоторой точке, то и непрерывна в некоторой точке. Во всех точках координатной плоскости этот многочлен непрерывен.

33.Теорема Вейерштрасса для функции нескольких переменных (без док).

Теорема1. Если функция для двух переменных определена и непрерывна в некоторой конечной замкнутой области D, то в этой области найдутся две такие точки , что в этих точках функция z будет принимать соответственно свое наименьшее и наибольшее значение в этой области, то есть будут выполняться следующие соотношения

Теорема 2,как следствие. Если какое-то число находится между наибольшим значением и наименьшим, то обязательно внутри области D найдется такая точка , что в этой точке значения функции будет равно число µ.

34.Частные производные функций нескольких переменных. Теорема о равенстве смешанных частных производных второго порядка функции двух переменных (без док).

Предел отношения частного приращения по x функции z к вызвавшему его приращению аргумента называется частной производной от исходной функции (если этот предел существует). Обозначается

Аналогично определяется частное производное по аргументу игрик по исходной функции.

– вторая частная производная по «x» дважды. Она определяется как

Если вторые частные производные непрерывны в некоторой окрестности точки, то тогда смешанные производные будут равны друг другу. Эта теорема позволяет утверждать что, как правило, результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

35.Дифференцируемость функции двух переменных. Необходимое условие дифференцируемости. Полный дифференциал.

Полным приращением этих функции будет следующая разность

Для практики важно выделить главную линейную часть этого полного приращения при

Теорема. Если частные производные первого порядка в некоторой окрестности точки непрерывны, то тогда справедливо следующее соотношение

Где

Если хотя бы одна из частных производных не равна нулю, то эта сумма

( ) будет представлять собой главную часть приращению функции.

представляет из себя главную линейную часть полного приращения функции и по аналогии с одномерным случаем эту сумму произведений принято называть полным дифференциалом первого порядка от функции «z» и обозначать через

Причем, как и в одномерном случае приращения равны дифференциалам.

Дифференциал – главная линейная часть полного приращения функции.

Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.

Из непрерывности самой функции в точке x0 не следует дифференцируемость ее в этой точке.

36.Производная по направлению. Связь производной по направлению с частными производными.

37.Градиент функции. Его свойство (производная функции по направлению её градиента принимает свое наибольшее значение).

Удобным оказалось сводить две частные производные к некоторому вектору, вектору градиента и который определяется следующим образом

Вектор градиента может вычисляться в произвольной точке, а может быть задан в определенной точке G(x;y), G(1;-1).

В случае функции аргументов вектор градиента будет трехмерным.

t wx:val=»Cambria Math»/> z `> «>

38.Свойство градиента функции двух переменных (перпендикулярность к касательной к линии уровня функции)

39.Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие строгого экстремума для функции двух переменных.

Пусть Z=f(M) определена в некоторой окрестности точки M0(x0;y0).

Определение: Функция Z=f(x;y), имеет в точке М0 локальный максимум/минимум, если существует такая окрестность точки М0. в которой для каждой точки М из этой окрестности выполняется неравенство: f(M)£f(M0)- максимум / f(M)³f(M0)- минимум.

Из определения следует, что если Z имеет экстремум в точке М0, то полное приращение может быть записано: DZ=f(M)-f(M0), DZ£0- для максимума и DZ³0- для минимума.

Теорема необходимое условие для локального экстремума: Если Z=f(x;y), имеет экстремум в точке М0, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то они равны нулю.

Док-во: зафиксируем одну из переменных у=у0, тогда Z-функция одной переменной(зависит только от х) и она имеет производную в точке х0 и экстремум в точке х0, тогда по необходимому условию экстремума для функции одной переменной: j’(x0)=0 => fx’(x0;y0)=0.

Теорема достаточное условие локального экстремума: Пусть в точке М0 возможного экстремума и некоторой её окрестности функция Z=f(x;y) имеет частные производные второго порядка. Обозначим: Составим матрицу: , обозначим D= , тогда:

Если D>0, то точка М0 – является точкой локального экстремума,

Если D 0, A>0, М0 – точка минимума,

Если D>0, A U(x)V’(x)=-U’(x)V(x)+[U(x)V(x)]’, интегрируя обе части получаем:

45.Интегральные суммы Римана. Определенный интеграл. Геометрический смысл сумм Римана и определенного интеграла.

46.Свойства определенного интеграла.

47. Теорема о среднем значении для определенного интеграла. Среднее значение функции на отрезке.

48.Интеграл с непременным верхним пределом, теорема о его производной. Следствие – необходимое условие существования первообразной.

Рассмотрим интеграл . В данном интеграле нижний предел=const, а верхний предел – переменная. Величина этого интеграла является функцией зависящей от верхнего предела х, обозначим её как Ф(х) и этот интеграл назовём Интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема Барроу: Производная от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е. .

Теорема о существовании неопределенного интеграла. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом промежутке (a;b), то на этом промежутке для неё будет существовать первообразная функция f(x) и, следовательно, неопределенный интеграл F(x)+C. Из непрерывности вытекает существование для неё неопределенного интеграла.

Правила вычисления производных

  • Материалы к уроку
  • Скачать все правила

Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δ y к приращению аргумента Δ x :

Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f ( x ) = x 2 + (2 x + 3) · e x · sin x . Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.

Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.

Производные элементарных функций

Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

Итак, производные элементарных функций:

Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:

В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:

(2 x 3 )’ = 2 · ( x 3 )’ = 2 · 3 x 2 = 6 x 2 .

Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.

Производная суммы и разности

Пусть даны функции f ( x ) и g ( x ), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:

Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, ( f + g + h )’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g , и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.

Задача. Найти производные функций: f ( x ) = x 2 + sin x; g ( x ) = x 4 + 2 x 2 − 3.

Функция f ( x ) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:

f ’( x ) = ( x 2 + sin x )’ = ( x 2 )’ + (sin x )’ = 2 x + cos x;

Аналогично рассуждаем для функции g ( x ). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):

g ’( x ) = ( x 4 + 2 x 2 − 3)’ = ( x 4 + 2 x 2 + (−3))’ = ( x 4 )’ + (2 x 2 )’ + (−3)’ = 4 x 3 + 4 x + 0 = 4 x · ( x 2 + 1).

Ответ:
f ’( x ) = 2 x + cos x;
g ’( x ) = 4 x · ( x 2 + 1).

Производная произведения

Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения strike «>равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:

( f · g ) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.

Задача. Найти производные функций: f ( x ) = x 3 · cos x; g ( x ) = ( x 2 + 7 x − 7) · e x .

Функция f ( x ) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:

f ’( x ) = ( x 3 · cos x )’ = ( x 3 )’ · cos x + x 3 · (cos x )’ = 3 x 2 · cos x + x 3 · (− sin x ) = x 2 · (3cos x − x · sin x )

У функции g ( x ) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g ( x ) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:

g ’( x ) = (( x 2 + 7 x − 7) · e x )’ = ( x 2 + 7 x − 7)’ · e x + ( x 2 + 7 x − 7) · ( e x )’ = (2 x + 7) · e x + ( x 2 + 7 x − 7) · e x = e x · (2 x + 7 + x 2 + 7 x −7) = ( x 2 + 9 x ) · e x = x ( x + 9) · e x .

Ответ:
f ’( x ) = x 2 · (3cos x − x · sin x );
g ’( x ) = x ( x + 9) · e x .

Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.

Производная частного

Если есть две функции f ( x ) и g ( x ), причем g ( x ) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h ( x ) = f ( x )/ g ( x ). Для такой функции тоже можно найти производную:

Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g 2 ? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.

Задача. Найти производные функций:

В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому все, что нам нужно — это формула производной частного:


По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:

Производная сложной функции

Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f ( x ) = sin x и заменить переменную x , скажем, на x 2 + ln x . Получится f ( x ) = sin ( x 2 + ln x ) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.

Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:

f ’( x ) = f ’( t ) · t ’, если x заменяется на t ( x ).

Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.

Задача. Найти производные функций: f ( x ) = e 2 x + 3 ; g ( x ) = sin ( x 2 + ln x )

Заметим, что если в функции f ( x ) вместо выражения 2 x + 3 будет просто x , то получится элементарная функция f ( x ) = e x . Поэтому делаем замену: пусть 2 x + 3 = t , f ( x ) = f ( t ) = e t . Ищем производную сложной функции по формуле:

f ’( x ) = f ’( t ) · t ’ = ( e t )’ · t ’ = e t · t ’

А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2 x + 3. Получим:

f ’( x ) = e t · t ’ = e 2 x + 3 · (2 x + 3)’ = e 2 x + 3 · 2 = 2 · e 2 x + 3

Теперь разберемся с функцией g ( x ). Очевидно, надо заменить x 2 + ln x = t . Имеем:

g ’( x ) = g ’( t ) · t ’ = (sin t )’ · t ’ = cos t · t ’

Обратная замена: t = x 2 + ln x . Тогда:

g ’( x ) = cos ( x 2 + ln x ) · ( x 2 + ln x )’ = cos ( x 2 + ln x ) · (2 x + 1/ x ).

Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.

Ответ:
f ’( x ) = 2 · e 2 x + 3 ;
g ’( x ) = (2 x + 1/ x ) · cos ( x 2 + ln x ).

Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.

Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:

( x n )’ = n · x n − 1

Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x 0,5 . А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.

Задача. Найти производную функции:

Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:

f ( x ) = ( x 2 + 8 x − 7) 0,5 .

Теперь делаем замену: пусть x 2 + 8 x − 7 = t . Находим производную по формуле:

f ’( x ) = f ’( t ) · t ’ = ( t 0,5 )’ · t ’ = 0,5 · t −0,5 · t ’.

Делаем обратную замену: t = x 2 + 8 x − 7. Имеем:

f ’( x ) = 0,5 · ( x 2 + 8 x − 7) −0,5 · ( x 2 + 8 x − 7)’ = 0,5 · (2 x + 8) · ( x 2 + 8 x − 7) −0,5 .

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Правила нахождения производных сводятся к умению применять формулы основных алгебраических действий над функциями. К правилам относятся:

  • Правило производной суммы $$y’ = (fx_1 + fx_2 + \dots + fx_n)’ = (fx’_1+fx’_2+\dots +fx’_n)$$
  • Правило производной разности $$y’ = (fx_1 — fx_2 — \dots — fx_n)’ = (fx’_1-fx’_2-\dots -fx’_n)$$
  • Производная произведения $$y’ = (fx_1 \cdot fx_2 \cdot \dots \cdot fx_n) = fx’_1 fx_2 fx_3 \dots fx_n + fx_1 fx’_2 fx_3 \dots fx_n + \dots + fx_1 fx_2 fx_3 \dots fx’_n$$
  • Производная частного \[y’=\left(\frac\right)^ <<'>> =\frac > g\left(x\right)-g\left(x\right)^ <<'>> f\left(x\right)>\left(x\right)> \]
  • Вычислить по правилу разности производную

  • По правилу разности: производная разности функций есть разность их производных. \[y’=\left(x^ <3>-2\sqrt[<3>] -4e^ -\ln x\right)^ <<'>> =\left(x^ <3>\right)^ <<'>> -\left(2\sqrt[<3>] \right)^ <<'>> -\left(4e^ \right)^ <<'>> -\left(\ln x\right)^ <<'>> \]
  • Разберем нахождение производной каждого слагаемого.
    1. Производная степени находится по формуле: \[a^ =n\cdot a^ \] \[\left(x^ <3>\right)^ <<'>> =3x^ <2>\]
    2. Производную корня можно найти через производную степени по выше указанной формуле, вынося числовой множитель за знак производной. \[\left(2\sqrt[<3>] \right)^ <<'>> =2\left(\sqrt[<3>] \right)^ <<'>> =2\left(x^<\frac<1><3>> \right)^ <<'>> =2\cdot \frac<1><3>x^<-\frac<2><3>> =\frac<2><3\sqrt[<3>] > > \]
    3. Производная постоянной е неизменна: \[e^ =e^x \] \[\left(4e^ \right)^ <<'>> =4\left(e^ \right)^ <<'>> =4e^ \]
    4. Производная натурального логарифма: \[\left(\ln x\right)^ <<'>> =\frac<1>\]
  • Запишем результат нахождения производной функций \[y’=\left(x^ <3>\right)^ <<'>> -\left(2\sqrt[<3>] \right)^ <<'>> -\left(4e^ \right)^ <<'>> -\left(\ln x\right)^ <<'>> =3x^ <2>-\frac<2><3\sqrt[<3>] > > -4e^ -\frac<1>\]
  • Вычислить по правилу суммы производную

    \[y=\arcsin x+\arccos x+arctgx\]

    1. По правилу суммы: производная суммы функций есть сумма их производных. \[y’=\left(\arcsin x+\arccos x+arctgx\right)^ <<'>> =\arcsin x’+\arccos x’+arctgx’\]
    2. Производная арксинуса: \[\arcsin x’=\frac<1><\sqrt<1-x^<2>> > \]
    3. Производная арккосинуса: \[\arccos x’=-\frac<1><1-x^<2>> \]
    4. Производная арктангенса: \[arctgx’=\frac<1><1+x^<2>> \]
    5. Запишем результат нахождения производной функций \[y’=\arcsin x’+\arccos x’+arctgx’=\frac<1><\sqrt<1-x^<2>> > -\frac<1><1-x^<2>> +\frac<1><1+x^<2>> \]
    6. Задай вопрос специалистам и получи
      ответ уже через 15 минут!

      Смотрите так же:

      • Образец заполнения госпошлины на паспорт Документы для получения/замены паспорта гражданина РФ и реквизиты для оплаты госпошлины Срок действия Паспорта гражданина Российской Федерации: * от 14 лет — до достижения 20-летнего возраста; * от 20 лет — до достижения 45-летнего возраста; * от 45 лет — бессрочно. Для получения паспорта гражданин представляет: * Заявление о выдаче […]
      • Как оформить dhl Таможенное оформление посылок на всех СВХ DHL (ДХЛ) Наша компания “Универсальные Грузовые Решения” оказывает услуги по таможенному оформлению грузов и посылок, доставляемых экспресс-перевозчиком DHL Express (ДХЛ). Мы поможем Вам оперативно "растаможить" или "затаможить" международные отправления по каким-то причинам задержанные […]
      • Проверить на кого оформлен автомобиль Как узнать на кого зарегистрирован автомобиль по гос номеру Для идентификации водителя каждой машине присваиваются индивидуальные номерные знаки. Это необходимая мера позволяет выявить правонарушителя, обнаружить украденный автомобиль, поймать скрывшегося виновника ДТП и так далее. Однако все это может потребоваться и обычному […]
      • Штраф 500 рублей за тонировку Что грозит водителям за чрезмерную тонировку стекол в 2018 году Несмотря на активные попытки дорожно-патрульных служб бороться с таким явлением, как тонирование стекол и передних фар, это явление продолжает активно распространяться среди автолюбителей. Основная проблема данного «апгрейда» автомобиля заключается в том, что зачастую […]
      • Спецрежимы налог на имущество Чтобы не платить налог на имущество, ИП на спецрежиме должен подать заявление на льготу В главы 28, 31 и 32 Налогового кодекса внесены изменения, исключившие обязанность представления физическими лицами документов, подтверждающих их право на налоговые льготы по имущественным налогам. Они подают только заявление на льготу (письмо ФНС […]
      • Размер субсидий расчёт Как рассчитать субсидию на оплату коммунальных услуг квартиры Расчет жилищной субсидии производится в соответствии с отдельными правовыми документами от Правительства, которые определяют стандарты расходов. Как рассчитать субсидию на квартиру? Рассмотрим далее. Нормы, правила и стандарты Согласно постановлению Правительства от […]